6 spôsobov, ako vypočítať polynómy druhého stupňa (kvadratické rovnice)

Polynom obsahuje premennú (x) zvýšenú na mocninu, známu ako stupeň, a niekoľko výrazov a/alebo konštánt. Faktorizácia polynómu znamená rozdelenie výrazu na menšie výrazy, ktoré sa množia. Tieto znalosti sa študujú od Algebry I a môžu byť ťažko pochopiteľné, ak nemáte základ.

kroky

Štartovanie

Krok 1. Zostavte výraz

Štandardný formát kvadratickej rovnice je:

sekera² + bx + c = 0

Začnite tým, že usporiadate podmienky rovnice od najväčšej po najmenšiu moc, rovnako ako vo vyššie uvedenej forme. Napríklad vziať;

6 + 6x² + 13x = 0

Výraz bude zoradený tak, aby ho bolo možné jednoduchšie spracovať zmenou umiestnenia výrazov:

6x² + 13x + 6 = 0

Krok 2. Nájdite tvarovaný tvar pomocou jednej z nižšie uvedených metód

Faktorizácia polynómu má za následok dva menšie výrazy, ktoré je možné vynásobiť a vytvoriť tak pôvodný polynóm:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

V tomto prípade sú faktory (2x +3) a (3x + 2) faktora pôvodného výrazu, 6x² + 13x + 6.

Krok 3. Skontrolujte výsledok

Znásobte identifikované faktory. Potom už len skombinujte podobné výrazy. Začnite s:

(2x + 3) (3x + 2)

Otestujme to pomocou metódy FOIL (angličtina pre prvý zvonku, zvnútra, posledný - najskôr zvonka, potom zvnútra), nazývanú tiež distribučná vlastnosť násobenia, pričom získame:

6x² + 4x + 9x + 6

Teraz je možné pridať 4x a 9x, pretože ide o podobné výrazy. Viete, že faktory sú správne, pretože bola získaná pôvodná rovnica:

6x² + 13x + 6

Metóda 1 zo 6: Skúška a chyba

Ak máte veľmi jednoduchý polynóm, môžete byť schopní zistiť faktory sami tým, že sa naň pozriete. Napríklad po praxi je mnoho matematikov schopných identifikovať, že výraz 4x² + 4x + 1 má faktory (2x + 1) a (2x + 1) po tom, čo ste s týmto výrazom predtým veľa pracovali. Ale samozrejme to nebude také jednoduché s komplikovanejšími polynómami. V tomto prípade použijeme menej bežný výraz:

3x² + 2x - 8

Krok 1. Uveďte faktory pre výrazy a a c

Použitie štandardného formátu sekery² + bx + c = 0, identifikujte termíny aac a uveďte ich faktory. Za 3x² + 2x - 8, to znamená:

a = 3 a má súbor faktorov: 1 * 3

c = -8 a má štyri sady faktorov: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8.

Krok 2. Zostavte dve sady prázdnych zátvoriek

Vyplníte ich konštantami každého výrazu:

(x) (x)

Krok 3. Vyplňte medzery pred znakmi x niekoľkými možnými faktormi hodnoty a

Pre výraz a v použitom príklade 3x², je len jedna možnosť:

(3x) (1x)

Krok 4. Vyplňte dve medzery za xmi dvojicou faktorov pre konštanty

Predpokladajme, že si vyberiete čísla 8 a 1. Napíšte ich:

(3x

Krok 8.)(

Krok 1

Krok 5. Rozhodnite, ktoré znamienka (sčítanie alebo odčítanie) majú ísť medzi premenné x a čísla

V závislosti od znakov v pôvodnom výraze je možné zistiť, aké by mali byť znaky konštánt. Nazvime tieto dve konštanty pre dva faktory h a k:

ak x² + bx + c, potom (x + h) (x + k)

ak x² - bx - c alebo sekera² + bx - c, potom (x - h) (x + k)

ak x² - bx + c, potom (x - h) (x - k)

Napríklad 3x² + 2x - 8, znamienka musia byť: (x - h) (x + k), čo má za následok dva faktory:

(3x + 8) a (x - 1)

Krok 6. Otestujte možnosti pomocou distribučnej vlastnosti

Rýchly prvý test, ktorý spustíte, je zistiť, či sa stredné členy zhodujú so správnymi hodnotami. Ak nie, možno ste vybrali nesprávne faktory pre c. Otestujme odpoveď:

(3x + 8) (x - 1)

Pri násobení získate:

3x² - 3x + 8x - 8

Zjednodušením tohto výrazu súčtom podobných výrazov (-3x) a (8x) získate:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Teraz vieme, že musíme identifikovať nesprávne faktory:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

Krok 7. V prípade potreby zmeňte faktory

V použitom príklade skúsme použiť 2 a 4 namiesto 1 a 8:

(3x + 2) (x - 4)

Teraz sa výraz c rovná -8, ale vonkajší/vnútorný súčin (3x * -4) a (2 * x) sa rovná -12x a 2x, ktoré sa nebudú kombinovať, aby sa vytvoril správny výraz b + +2x.

-12x + 2x = 10x

10x ≠ 2x

Krok 8. V prípade potreby obráťte objednávku

Skúsme presunúť 2 a 4:

(3x + 4) (x - 2)

Teraz je výraz c (4 * 2 = 8) stále správny, ale vonkajšie/vnútorné produkty sú -6x a 4x. Ich kombináciou:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Sme blízko 2x, ale signál je zlý.

Krok 9. V prípade potreby skontrolujte značky

Ponechajte rovnaké poradie, ale zmeňte poradie so znamienkom mínus:

(3x - 4) (x + 2)

Teraz je výraz c stále správny, ale vonkajšie/vnútorné produkty sú (6x) a (-4x). Páči sa mi to:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Teraz je možné rozpoznať kladný výraz 2x z pôvodného problému. To musia byť správne faktory.

Metóda 2 zo 6: Rozklad

Táto metóda identifikuje všetky možné faktory výrazov a a c a používa ich na zistenie, ktoré faktory by mali byť. Ak sú čísla príliš veľké alebo sa vám ostatné metódy zdajú komplikovanejšie, použite túto metódu. Použime príklad:

6x² + 13x + 6

Krok 1. Vynásobte výrazy a a c

V tomto prípade sa obaja rovnajú 6.

6 * 6 = 36

Krok 2. Nájdite hodnotu termínu b faktoringom a testovaním

Musíte nájsť dve čísla, ktoré sú faktormi súčinu a * c a sú tiež ekvivalentné výrazu b (13), keď sa sčítajú.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Krok 3. Nahraďte dve čísla získané v rovnici súčtom pojmu b

Použme k a h na reprezentáciu dvoch čísel, ktoré dostaneme, 4 a 9:

sekera² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Krok 4. Faktor polynomu zoskupením

Usporiadajte rovnicu tak, aby ste mohli vylúčiť najväčší spoločný faktor prvých dvoch a posledných dvoch výrazov. Obe faktorizované skupiny musia byť rovnaké. Sčítajte najväčšie spoločné faktory a umiestnite ich do zátvoriek vedľa faktorizovanej skupiny; výsledkom budú dva faktory:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metóda 3 zo 6: Trojzápas

Metóda „trojitého štartu“, podobne ako pri rozklade, skúma možné faktory súčinov výrazov a a c a potom pomocou nich zistí hodnotu b. Uvažujme napríklad o nasledujúcej rovnici:

8x² + 10x + 2

Krok 1. Vynásobte výrazy a a c

Pomôže vám to identifikovať možnosti výrazu b a metódy rozkladu. V tomto prípade sa rovná 8 a c sa rovná 2.

8 * 2 = 16

Krok 2. Nájdite dve čísla s číslami, ktorých súčin a súčet sú ekvivalentné výrazu b

Tento krok je identický s metódou rozkladu - musíte otestovať a odmietnuť kandidátov na konštanty. Súčin výrazov a a c je 16 a výraz c sa rovná 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Krok 3. Vezmite tieto dve čísla a vyskúšajte ich striedanie vo vzorci „trojzápas“

Vezmite dve čísla z predchádzajúceho kroku - nazvime ich h a k - a vložte ich do tohto výrazu:

((ax + h) (ax + k)) / a

V tomto prípade dostaneme:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Krok 4. Pozrite sa, ktorý z týchto dvoch výrazov v čitateľovi je rovnako deliteľný a

V tomto prípade testujeme, či (8x + 8) alebo (8x + 2) je možné vydeliť číslom 8. (8x + 8) je deliteľné číslom 8, takže tento výraz delíme číslom a a ostatné necháme tak, ako sú..

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Termín, ktorý v tomto prípade ukladáme, je zvyšok delenia výrazom a: (x + 1)

Krok 5. Vezmite najväčší spoločný faktor jedného alebo oboch výrazov, ak nejaké existujú

V tomto prípade má druhý člen ako najväčší spoločný faktor číslo 2, pretože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Priraďte túto odpoveď k výrazu uvedenému v predchádzajúcom kroku. Toto sú faktory v rovnici.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metóda 4 zo 6: Rozdiel dvoch koreňov

Niektoré koeficienty v polynómoch je možné identifikovať ako „korene“alebo ako súčin dvoch čísel. Identifikácia týchto koreňov vám umožní rozdeliť polynómy oveľa rýchlejšie. Zvážte rovnicu:

27x² - 12 = 0

Krok 1. Faktor v najväčšom spoločnom faktore, ak je to možné

V tomto prípade vidíme, že 27 a 12 sú deliteľné tromi, takže ich oddeľme:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Krok 2. Identifikujte, či koeficienty rovnice sú štvorcové čísla

Ak chcete použiť túto metódu, musíte byť schopní získať presnú odmocninu výrazov. Znamienka mínus sú vynechané, pretože tieto čísla sú štvorce, ktoré môžu byť súčinom dvoch kladných alebo záporných čísel.

9x² = 3x * 3x a 4 = 2 * 2

Krok 3. Použitím identifikovaných odmocnín napíšte faktory

Vezmite hodnoty a a c z vyššie uvedeného kroku (a = 9 a c = 4) a vypočítajte ich odmocniny - √ a = 3 a √ c = 2. Budú to koeficienty koeficientov výrazov:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metóda 5 zo 6: Kvadratický vzorec

Ak ostatné metódy zlyhajú a rovnica nie je rovnomerne rozložená, použite kvadratický vzorec. Zvážte nasledujúci príklad:

X² + 4x + 1 = 0

Krok 1. Nahraďte zodpovedajúce hodnoty kvadratickým vzorcom:

x = -b ± √ (b² - 4c)

---------------------

2

Dostávame výraz:

x = -4 ± √ (4² - 4•1•1) / 2

Krok 2. Vypočítajte hodnotu x

Mali by ste dostať dve hodnoty pre x. Ako je uvedené vyššie, dostávame dve odpovede:

x = -2 + √ (3) alebo x = -2 -√ (3)

Krok 3. Na výpočet faktorov použite hodnoty x

Nahraďte hodnoty x. Budú to faktory. Ak identifikujeme dve odpovede ako h a k, musíme faktory napísať takto:

(x - h) (x - k)

V tomto prípade je konečná odpoveď:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metóda 6 zo 6: Použitie kalkulačky

Ak je to možné, grafová kalkulačka výrazne uľahčuje proces faktoringu, najmä v testoch. Nasledujúce pokyny sú pre grafickú kalkulačku. Zvážte nasledujúci príklad:

y = x² - x - 2

Krok 1. Zadajte rovnicu do kalkulačky

Budete používať riešenie rovníc, tiež známe ako [Y =] obrazovka.

Krok 2. Vytvorte graf na rovnici na kalkulačke

Po zadaní rovnice stlačte kláves [GRAPH] - mali by ste vidieť oblúk predstavujúci rovnicu (a bude to oblúk, pretože máme do činenia s polynómami).

Krok 3. Pozrite sa, kde oblúk pretína os x

Pretože polynómové rovnice sa zvyčajne píšu ako os² + bx + c = 0, to sú dve hodnoty x, ktoré robia výraz rovným nule:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Ak nemôžete identifikovať, kde graf pretína os x, stlačte [2.] a potom [TRACE]. Stlačte [2] alebo zvoľte „nula“. Posuňte kurzor doľava od križovatky a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor doprava od križovatky a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor čo najbližšie k križovatke a stlačte [ENTER]. Kalkulačka nájde hodnotu x. To isté urobte pre druhú križovatku

Krok 4. Nahraďte hodnoty x získané v predchádzajúcom kroku dvoma faktorovými výrazmi

Pri použití dvoch hodnôt x (h a k) bude použitý výraz:

(x - h) (x - k) = 0

Preto musia byť tieto dva faktory:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tipy

• Ak máte kalkulačku TI-84 (grafika), existuje program s názvom „SOLVER“, ktorý rieši kvadratickú rovnicu. Rieši aj polynómy iných stupňov.
• Ak výraz neexistuje, koeficient je 0. Môže byť užitočné prepísať rovnicu, ak áno, napríklad: x² + 6 = x² + 0x + 6.
• Ak ste rozdelili polynóm na kvadratický vzorec a dostali ste odpovede s radikálmi, preveďte hodnoty x na zlomky a overte ich.
• Ak výraz nemá písomný koeficient, bude to 1, to znamená x² = 1x².
• Po dlhom cvičení budete nakoniec schopní vylúčiť polynómy vo svojej hlave. Do tej doby ich napíšte na papier.

Oznámenia