3 spôsoby, ako zjednodušiť algebraické výrazy

Obsah:

3 spôsoby, ako zjednodušiť algebraické výrazy
3 spôsoby, ako zjednodušiť algebraické výrazy

Video: 3 spôsoby, ako zjednodušiť algebraické výrazy

Video: 3 spôsoby, ako zjednodušiť algebraické výrazy
Video: OBSAH TROJUHOLNÍKA - ako ho vypočítame? 2024, Marec
Anonim

Naučiť sa zjednodušovať algebraické výrazy je základnou požiadavkou na zvládnutie základnej algebry a je tiež mimoriadne cenným nástrojom pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje matematikovi vytvárať zložité, dlhé alebo nevhodné výrazy do jednoduchších alebo pohodlnejších foriem, pričom zostáva stále ekvivalentný. Naučiť sa základné zjednodušovanie je veľmi jednoduché - aj pre tých, ktorí nemajú radi matematiku. Nasledovaním niekoľkých jednoduchých krokov je možné zjednodušiť mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov bez toho, aby ste mali akékoľvek matematické znalosti. Ak chcete začať, prečítajte si krok 1!

kroky

Pochopenie dôležitých pojmov

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 1
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 1

Krok 1. Definujte „súvisiace pojmy“pomocou premenných a mocnin

V algebre majú „afinné čísla“rovnakú konfiguráciu premenných, ktoré sa zvyšujú na rovnaké mocniny. Inými slovami, aby boli dva výrazy „afinné“, musia mať rovnaké alebo vôbec žiadne premenné a každý z nich musí mať rovnakú alebo žiadnu hodnotu. Na poradí premenných v rámci výrazu nezáleží.

Napríklad 3x2 a 4x2 sú to príbuzné pojmy, pretože každý z nich obsahuje premennú x zvýšenú na druhú mocninu. Avšak x a x2 nie sú to príbuzné pojmy, pretože každý z nich zvýšil x na inú moc. Podobne -3yx a 5xz nie sú príbuzné výrazy, pretože každý z nich má odlišnú sadu premenných.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 2
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 2

Krok 2. Faktor pri písaní čísel ako súčin dvoch faktorov

Faktorizácia je koncept reprezentácie daného čísla ako súčinu dvoch faktorov vynásobených spoločne. Čísla môžu mať viac ako jednu sadu faktorov - napríklad číslo 12 môže byť tvorené 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžete vyhlásiť, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú všetky faktory 12. Ďalším spôsobom myslenia je, že faktormi čísla sú čísla, pomocou ktorých je deliteľné rovnako.

  • Ak napríklad chceme faktor 20, môžeme ho napísať ako 4×5.
  • Uvedomte si, že možno započítať aj variabilné výrazy. -20x, napríklad, môže byť zapísané ako 4 (-5x).
  • Prvočísla nie je možné započítať, pretože sú deliteľné iba samy sebou a 1.
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 3
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 3

Krok 3. Na skratku poradia operácií použite skratku PEMDAS

Príležitostné zjednodušenie výrazu neznamená nič iné ako vykonávanie operácií s týmto výrazom, kým to už nie je možné. V takýchto prípadoch je dôležité zapamätať si poradie operácií, aby nedošlo k žiadnym aritmetickým chybám. Skratka PEMDAS môže byť veľkou pomocou, keď si potrebujete zapamätať poradie operácií - písmená zodpovedajú typom operácií, ktoré je potrebné vykonať, v tomto poradí:

  • PREpostroje.
  • Aexponentov.
  • Mnásobenie.
  • Division.
  • THEvydanie.
  • sodčítanie.

Metóda 1 z 3: Kombinácia súvisiacich výrazov

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 4
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 4

Krok 1. Napíšte svoju rovnicu

Najjednoduchšie algebraické rovnice, zahrnujúce iba niekoľko variabilných výrazov s celočíselnými koeficientmi a bez zlomkov, radikálov atď., Je možné často vyriešiť v niekoľkých krokoch. Rovnako ako pre väčšinu matematických úloh je prvým krokom pri zjednodušovaní rovnice jej zapísanie!

Ako príklad problému budeme v nasledujúcich krokoch považovať výraz 1+2x-3+4x.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 5
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 5

Krok 2. Identifikujte súvisiace výrazy

Ďalej vyhľadajte vo svojej rovnici súvisiace výrazy. Nezabudnite, že podobné výrazy majú rovnaké premenné aj rovnakých zástupcov.

Identifikujme napríklad súvisiace výrazy v rovnici 1+2x-3+4x. 2x aj 4x majú rovnakú premennú zvýšenú na rovnaký exponent (v tomto prípade x nie sú zvýšené na žiadnu moc). 1 a -3 sú navyše súvisiace výrazy, pretože ani jedna nemá premenné. Takže v našej rovnici, 2x a 4x a 1 a -3 sú súvisiace pojmy.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 6
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 6

Krok 3. Skombinujte súvisiace výrazy

Teraz, keď ste identifikovali súvisiace výrazy, môžete ich skombinovať a zjednodušiť tak rovnicu. Sčítaním výrazov (alebo ich odčítaním pre záporné výrazy) zredukujete každú množinu výrazov s premennými a exponentmi rovnými singulárnemu výrazu.

  • V našom príklade pridajme súvisiace výrazy:

    • 2x+4x = 6x.
    • 1+(-3) = - 2.
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 7
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 7

Krok 4. Vytvorte zjednodušený výraz zo svojich zjednodušených výrazov

Po skombinovaní príbuzných výrazov vytvorte výraz zo sady nových a zjednodušených výrazov. Mali by ste získať jednoduchší výraz s výrazom pre každú inú množinu premenných a exponentov v pôvodnom výraze. Tento nový výraz je rovnaký ako prvý.

V našom prípade sú zjednodušené výrazy 6x a -2, takže nový výraz bude 6x-2. Tento zjednodušený výraz je rovnaký ako originál (1+2x-3+4x), ale je menší a ľahšie sa rieši. Je tiež jednoduchšie faktorizovať, čo, ako uvidíme ďalej, je ďalšou dôležitou zručnosťou v zjednodušovaní.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 8
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 8

Krok 5. Pri kombinovaní súvisiacich výrazov sa riaďte poradím operácií

V extrémne jednoduchých výrazoch, ako je ten v predchádzajúcom príklade, je identifikácia výrazov jednoduchá. V zložitejších výrazoch, akými sú výrazy v zátvorkách, zlomky a radikály, však súvisiace výrazy, ktoré je možné kombinovať, nemusia byť zrejmé. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií a podľa potreby vykonávajte operácie s výrazmi vo výrazu, kým nezostane iba sčítanie a odčítanie.

  • Uvažujme napríklad o rovnici 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x. Nebolo by správne okamžite identifikovať 3x a 2x ako súvisiace výrazy a kombinovať ich napriek zátvorkám, pretože musíme najskôr vykonať ďalšie operácie. Na začiatku budeme vo výraze vykonávať aritmetické operácie podľa poradia operácií, aby sme získali výrazy, ktoré môžeme použiť. Pozri nižšie:

    • 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x.
    • 15x-5+x (x)+8-3x.
    • 15x-5+x2.

      Keďže už zostávajú iba operácie sčítania a odčítania, môžeme súvisiace výrazy skombinovať

    • X2+12x+3.

Metóda 2 z 3: Faktoring

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 9
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 9

Krok 1. Identifikujte najväčšieho spoločného deliteľa vo výraze

Faktoring je spôsob, ako zjednodušiť výrazy odstránením bežných faktorov z výrazových výrazov. Na začiatok nájdite najväčšieho spoločného deliteľa, ktorý zdieľajú všetky výrazy vo výraze - inými slovami najväčší počet, pomocou ktorého sú všetky výrazy vo výraze rovnako deliteľné.

  • Použime rovnicu 9x2+27x-3. Všimnite si toho, že všetky výrazy v rovnici sú deliteľné 3. Pretože termíny nie sú rovnako deliteľné iným väčším číslom, môžeme určiť, že

    Krok 3 je najväčší spoločný deliteľ vo výraze.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 10
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 10

Krok 2. Rozdelte výrazy podľa najväčšieho spoločného deliteľa

Ďalej rozdeľte každý výraz v rovnici na najväčšieho spoločného deliteľa. Výsledné výrazy budú mať nižšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

  • Rozdeľme našu rovnicu na najväčšieho spoločného deliteľa, 3. Na to rozdelíme každý výraz 3.

    • 9x2/3 = 3x2
    • 27x/3 = 9x
    • -3/3 = -1

      Náš nový výraz teda je 3x2+9x-1.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 11
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 11

Krok 3. Vytvorte svoj výraz ako súčin najväčšieho spoločného deliteľa a zostávajúcich výrazov

Nový výraz nie je rovnaký ako predchádzajúci, to znamená, že nemožno povedať, že je zjednodušený. Aby sa rovnal predchádzajúcemu, je potrebné poznamenať, že bol rozdelený najväčším spoločným deliteľom. Svoj výraz uzatvorte do zátvoriek a ako koeficient pre výraz v zátvorkách nastavte najväčší spoločný deliteľ pôvodnej rovnice.

V prípade nášho ukážkového výrazu 3x2+9x-1, zatvoríme výraz v zátvorkách a vynásobíme ho najväčším spoločným deliteľom pôvodnej rovnice, aby sme dostali 3 (3x2+9x-1). Táto rovnica je rovnaká ako pôvodná, 9x2+27x-3.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 12
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 12

Krok 4. Na zjednodušenie zlomkov použite faktorizáciu

Teraz sa možno čudujete, prečo je faktorizácia užitočná, ak po odstránení najväčšieho spoločného deliteľa musí byť nový výraz ním opäť znásobený. Faktorizácia v skutočnosti umožňuje matematikovi pri zjednodušovaní výrazu vykonať niekoľko trikov. Jeden z najjednoduchších zahŕňa využitie výhody skutočnosti, že vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom vznikne ekvivalentný zlomok. Pozri nižšie:

  • Povedzme náš pôvodný príklad výrazu 9x2+27x-3, byť čitateľom väčšieho zlomku s 3 v menovateli. Tento zlomok by vyzeral takto: (9x2+27x-3)/3. Na zjednodušenie tejto frakcie môžeme použiť faktorizáciu:

    Faktorizovanú formu nášho pôvodného výrazu nahradíme výrazom v čitateľovi: [3 (3x2+9x-1)]/3.

  • Všimnite si, že teraz čitateľ aj menovateľ majú koeficient 3. Rozdelením oboch na 3 dostaneme: (3x3+9x-1)/1.
  • Pretože každý zlomok, ktorý má v menovateli „1“, sa rovná výrazom v čitateľovi, môžeme povedať, že pôvodný zlomok je možné zjednodušiť na 3x2+9x-1.

Metóda 3 z 3: Aplikácia ďalších zručností zjednodušenia

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 13
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 13

Krok 1. Zjednodušte zlomky delením spoločných faktorov

Ako je uvedené vyššie, ak čitateľ a menovateľ výrazu zdieľajú faktory, tieto faktory je možné zo zlomku úplne odstrániť. Niekedy to bude vyžadovať faktorizáciu čitateľa, menovateľa alebo oboch (ako to bolo vyššie popísané), zatiaľ čo inokedy budú zdieľané faktory zrejmé. Všimnite si toho, že je tiež možné rozdeliť čitateľské výrazy na výraz v menovateli, jednotlivo, aby sa získal zjednodušený výraz.

  • Zoberme si príklad, ktorý nevyhnutne nevyžaduje okamžitú faktorizáciu. V prípade zlomku (5x2+10x+20)/10, môžeme každý výraz v čitateľovi rozdeliť na 10 v menovateli, aby sme ho zjednodušili, aj keď koeficient „5“v 5x2 nie je väčšie ako 10, a preto nemôže mať 10 ako deliteľa.

    Tým sa dostávame k výsledku [(5x2)/10]+x+2. Ak dávame prednosť, môžeme prvý výraz prepísať na (1/2) x2 aby ste dostali výsledok (1/2) x2+x+2.

Zjednodušte algebraické výrazy, krok 14
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 14

Krok 2. Na zjednodušenie radikálov použite štvorcové faktory

Výrazy pod symbolom odmocniny sa nazývajú radikálne výrazy. Dajú sa zjednodušiť identifikáciou druhých mocninových činiteľov (faktorov, ktoré sú druhou mocninou daného čísla) a samostatným vykonaním operácie na druhej odmocnine, aby sa odstránili zo znamienka druhej odmocniny.

  • Zoberme si nasledujúci príklad: √ (9). Ak uvažujeme o čísle 90 ako súčinu dvoch z jeho faktorov 9 a 10, môžeme vziať odmocninu z čísla 9, aby sme dostali celé číslo 3 a odstránili ho z radikálu. Inými slovami:

    • √(90).
    • √(9×10).
    • [√(9)×√(10)].
    • 3×√(10).
    • 3√10.
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 15
Zjednodušte algebraické výrazy, krok 15

Krok 3. Pridajte exponenty vynásobením dvoch exponenciálnych výrazov; odčítajte ich delením týchto výrazov

Niektoré algebraické výrazy vyžadujú násobenie alebo delenie exponenciálnych výrazov. Namiesto počítania každého exponenciálneho výrazu a násobenia alebo delenia ručne jednoducho pri násobení pridajte exponenty a pri delení ich odčítajte, aby ste ušetrili čas. Tento koncept je možné použiť aj na zjednodušenie variabilných výrazov.

  • Zoberme si napríklad výraz 6x3× 8x4+(x17/X15). Vždy, keď je potrebné vynásobiť alebo rozdeliť na exponenty, budeme odčítať alebo sčítať, aby sme rýchlo našli zjednodušený výraz. Pozri nižšie:

    • 6x3× 8x4+(x17/X15)
    • (6 × 8) x3+4+(x17-15)
    • 48x7+x2
  • Dôvod, prečo to funguje, je nasledujúci:

    Násobenie exponenciálnych výrazov je v podstate ako násobenie dlhých reťazcov neexponenciálnych výrazov. Napríklad, pretože x3 = x × x × x a x5 = x × x × x × x × x x, x3× x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x x × x) alebo x8

  • Podobne je rozdelenie exponenciálnych výrazov ako rozdelenie dlhých reťazcov neexponenciálnych výrazov. X5/X3 = (x × x × x × x × x x)/(x × x × x x). Pretože každý výraz v čitateľovi je možné zrušiť kombinovaným výrazom v menovateli, zostanú nám v čitateľovi dva x a v menovateli žiadny, čím dostaneme odpoveď x2.

Tipy

  • Vždy si pamätajte, že o týchto číslach musíte myslieť tak, že majú znamienka plus alebo mínus. Mnohým ľuďom je ťažko myslieť „Aké znamenie by som tu mal dať?”
  • V prípade potreby požiadajte o pomoc!
  • Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, ale keď sa v tom zorientujete, budete túto zručnosť používať celý život.

Oznámenia

  • Vždy hľadajte súvisiace výrazy a nenechajte sa oklamať exponentmi.
  • Neumiestňujte omylom žiadne číslo, exponent alebo operáciu, ktorá nepatrí do výrazu.

Odporúča: